６月テスト中３数学・要点

 中３数学の６月テスト範囲は式の計算（展開・因数分解）になります。

式の乗法・除法ではマイナスをかけるときに符号を変えることを忘れてしまう間違いがあるので注意する。

分数の乗除ではｘなど文字を分子の位置におきかえて計算をする。

分数の乗除では×分数、÷分数の分数を分母、分子に分けた形にして考える。

÷$\frac{\mathrm{}}{}$$\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><span\; style="color:\; black;"><span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">３</b></span></span></span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">４</b></span>}}$x の x を÷$\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">３x</b></span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">４</b></span>}}$$\frac{\mathrm{}}{}$ のように分子に書き換えてから計算をする。

問題)

（９ｘ^２−６xy）÷$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">３</b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">４</b>}}$x

＝（９ｘ^２−６xy）÷$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">３x</b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">４</b>}}$

＝（９ｘ^２−６xy）×$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">４</b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">３x</b>}}$

＝９x^２×$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">４</b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">３x</b>}}$－６xy×$\frac{\mathrm{４}}{\mathrm{３x}}$

＝$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 1em;"><b\; style="font-weight:\; bold;"><span\; style="font-size:\; 1.4em;">９xx\times ４</span></b></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 1.4em;"><b\; style="font-weight:\; bold;">３x</b></span>}}$ー$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;"><span\; style="font-size:\; 1.4em;"><span\; style="font-size:\; 1em;">６xy\times ４</span></span></b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;"><span\; style="font-size:\; 1.4em;"><span\; style="font-size:\; 1em;">３x</span></span></b>}}$

＝１２x−８y

 

この計算では

÷$\frac{\mathrm{}}{}$$\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><span\; style="color:\; black;"><span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">３</b></span></span></span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">４</b></span>}}$x の x を

÷$\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">３x</b></span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">４</b></span>}}$$\frac{\mathrm{}}{}$ のように分子に書き換えてから

×$\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">４</b></span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">３x</b></span>}}$ とすることがポイント

乗法公式

４つの乗法公式はしっかり覚えて使えるようにする。
（乗法公式）

公式１

(ｘ＋a)(ｘ＋b)＝ｘ^２＋(a＋b)ｘ＋ab

公式２

(ｘ＋a)^２＝ｘ^２＋２aｘ＋a^２

公式３

(ｘ－a)^２＝ｘ^２－２aｘ＋a^２

公式４

(a＋b)(a－b)＝a^２－b^２

いろいろな展開

共通の多項式を１つの文字におきかえて乗法公式を使って展開する。

間違いやすい応用問題

(ｘ－ｙ＋７)(ｘ＋ｙ－７)

この問題では共通の多項式がないのでこのままでは１つの文字におきかえて乗法公式を使って展開できない。

この場合は－ｙ＋７を－でくくって符号を変える。

－(ｙ－７)とする。
共通な多項式ができて１つの文字におきかえる。

(ｘ－ｙ＋７)(ｘ＋ｙ－７)

＝{ｘ－(ｙ－７)}{ｘ＋(ｙ－７)}

＝(ｘ－Ｍ)(ｘ＋Ｍ)
＝ｘ^２－Ｍ^２
＝ｘ^２－(ｙ－７)^２
＝ｘ^２－(ｙ^２－１４ｙ＋４９)

＝ｘ^２－ｙ^２＋１４ｙ－４９

このおきかえの展開問題は解き方をしっかり覚えてできるようにしておく。

因数分解

因数分解は展開の逆

乗法公式を逆に使って行う

公式１

ｘ^２＋(a＋b)ｘ＋ab＝(ｘ＋a)(ｘ＋b)

公式２

ｘ^２＋２aｘ＋a^２＝(ｘ＋a)^２

公式３

ｘ^２－２aｘ＋a^２＝(ｘ－a)^２

公式４

a^２－b^２＝(a＋b)(a－b)

４つの乗法公式を逆に使って因数分解をする。

いろいろな因数分解

式を文字におきかえて因数分解する問題で間違えやすいのがマイナスの符号。

(ｘ＋２)^２－(ｙ＋３)^２

＝A^２－B^２

＝(A＋B)(A－B)

＝｛(ｘ＋２)＋(ｙ＋３)｝{(ｘ＋２)－(ｙ＋３)}

＝(ｘ＋２＋ｙ＋３)(ｘ＋２－ｙ－３)

＝(ｘ＋ｙ＋５)(ｘ－ｙ－１)

このようにかっこをつけておきかえをもとにもどすようにすると間違いが少なくなります。

式の利用

数の性質の証明

ｎの倍数であることの証明は式が「ｎ×整数」の形で表せることを示す。

５の倍数を証明 …＝５（　　）、　（　　）は整数なので ５（　　）は５の倍数となる。

数の計算のくふう

乗法公式・因数分解を利用して計算を簡単にする

５２×４８

＝（５０＋２）（５０－２）

＝５０^２－２^２

＝２５００－４

＝２４９６

６５^２－１５^２

＝（６５＋１５）（６５－１５）

＝８０×５０

＝４０００

図形の性質の証明

S=alの証明　

S= □…①　

l= △ …②

a×②

al＝ a×△＝□ …③　

①③より　S=al

この証明パターンを覚える。

2025/05/28