中３数学・４月 式の計算・要点①

 中学３年生の数学　式の計算の要点①

多項式の計算

(1)  式の乗法・除法

(2)  式の展開

(3)  乗法公式

ポイントはいかに乗法公式を早く覚えて使えるようになるかです。

乗法公式を覚えて確実に使えるようにすることは単元「式と計算」ができるかできないかを決定します。

除法公式は「式の展開」だけではなく後で学習する「因数分解」にも関係してきます。

数学が苦手な生徒は早めに乗法公式を覚えて使えるようにしておくとこの単元はできます。

覚えておくべき乗法公式は４つあります。

 

乗法公式

[公式１]　　（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）＝ｘ^２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ

[公式２]　 （ｘ＋ａ）^２＝ｘ^２＋２ａｘ＋ａ^２

[公式３]　　（ｘ－ａ）^２＝ｘ^２－２ａｘ＋ａ^２

[公式４]　 （ｘ＋ａ）（ｘ－ａ）＝ｘ^２－ａ^２

以上の４つの公式を早めに覚えて使えるようにしておく必要があります。

４つの乗法公式がなかなか覚えられないという生徒もいます。

そんな生徒は始めに学習する式の展開で答えを求めようとします。

式の展開で答えを出すことはできます。

しかし答を求めることができるからと式の展開で求める方法を使うと乗法公式を覚えようとしなくなります。

乗法公式を覚えないと「いろいろな計算」「因数分解」がむずかしくなります。

必ず乗法公式を使って式の展開をするという意識を持つ必要があります。

「式の計算」

①式の乗法・除法

1. 多項式と単項式の乗法

単項式×多項式、多項式×単項式の計算では分配法則を用いる。

ａ(ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ

－３ｘ(４ｘ－５ｙ）

＝－３ｘ４ｘ－(－３)ｘ５ｙ

＝－１２ｘ^２＋１５ｘｙ

マイナスをかけるので符合が変わることに注意する。

間違いやすい。

（ａ＋ｂ）ｃ＝ａｃ＋ｂｃ

（３ａ＋ｂ）×２ａ

＝ ３ａ×２ａ＋ｂ×２ａ

＝ ６ａ^２＋２ａｂ

2. 多項式と単項式の除法

多項式÷単項式

（ａ＋ｂ）÷ｃ＝$\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; blue;"><b\; style="font-weight:\; bold;">ａ</b></span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; blue;"><b\; style="font-weight:\; bold;">ｃ</b></span>}}$＋$\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; blue;"><b\; style="font-weight:\; bold;">\; ｂ</b></span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; blue;"><b\; style="font-weight:\; bold;">ｃ</b></span>}}$$\frac{\mathrm{}}{}$

 （６a^２−４a）÷２a

＝$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;"><b\; style="font-weight:\; bold;">\; ６ａａ</b></b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">２ａ</b>}}$ー$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;"><b\; style="font-weight:\; bold;">\; ４ａ</b></b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">２ａ</b>}}$

＝３ａ−２

 

（ａ＋ｂ）÷$\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; blue;"><b\; style="font-weight:\; bold;">ｄ</b></span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; blue;"><b\; style="font-weight:\; bold;">ｃ</b></span>}}$

＝（ａ＋ｂ）×$\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; blue;"><b\; style="font-weight:\; bold;">ｃ</b></span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; blue;"><b\; style="font-weight:\; bold;">ｄ</b></span>}}$

＝ａ×$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">ｃ</b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;"><b\; style="font-weight:\; bold;">ｄ</b></b>}}$＋ｂ×$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">ｃ</b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;"><b\; style="font-weight:\; bold;">ｄ</b></b>}}$$\frac{\mathrm{}}{}$

＝$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">ａｃ</b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">ｄ</b>}}$＋$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">\; ｂｃ</b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">ｄ</b>}}$

 

（９ｘ^２−６xy）÷$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">３</b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">４</b>}}$x

＝（９ｘ^２−６xy）÷$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">３x</b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">４</b>}}$

＝（９ｘ^２−６xy）×$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">４</b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">３x</b>}}$

＝９x^２×$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">４</b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;">３x</b>}}$－６xy×$\frac{\mathrm{４}}{\mathrm{３x}}$

＝$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 1em;"><b\; style="font-weight:\; bold;"><span\; style="font-size:\; 1.4em;">９xx\times ４</span></b></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 1.4em;"><b\; style="font-weight:\; bold;">３x</b></span>}}$ー$\frac{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;"><span\; style="font-size:\; 1.4em;"><span\; style="font-size:\; 1em;">６xy\times ４</span></span></b>}}{\mathrm{<b\; style="font-weight:\; bold;"><span\; style="font-size:\; 1.4em;"><span\; style="font-size:\; 1em;">３x</span></span></b>}}$

＝１２x−８y

 

この計算では

÷$\frac{\mathrm{}}{}$$\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><span\; style="color:\; black;"><span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">３</b></span></span></span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">４</b></span>}}$x の x を

÷$\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">３x</b></span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">４</b></span>}}$$\frac{\mathrm{}}{}$ のように分子に書き換えてから

×$\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">４</b></span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; red;"><b\; style="font-weight:\; bold;">３x</b></span>}}$ とすることがポイント

2025/03/07